L?=L
对于像 d/dx 这样的简单微分算子来说就是这种情况。在量子力学中，任何可观测的量，即对应于真实测量的 L，都要求是自伴随的，以便测量的量（本征值）是实数。
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也有例外。例如在模拟具有能量耗散或增益的量子系统时，我们可以使用非厄米哈密顿量来模拟变化，但这种情况相当少见。尤其是你能接触到的，几乎可以肯定所有的哈密顿量都是自伴随的。
对于自伴随算子，格林函数也满足：
方程8:
LG(x，x')=δ(x-x')
这也是你在实践中最常见的定义方式。
有了方程，如何理解它呢。由于 L 是任意的，因此 G 也是如此，让我们从右侧开始：δ函数。
方程9:δ函数∫-∞/∞:f(x-x')dx'=1
回顾一下：我们通过它在积分下的作用来定义δ函数
$\delta$函数是一个在数学和物理学中常用的广义函数，通常用$\delta(x)$表示。它在$x=0$处取值为无穷大，而在其他地方取值为$0$。
$\delta$函数的主要用途是对某些集中在一点或一瞬的物理量进行描述，例如质点的质量、电荷集中在一点，或者脉冲在一瞬间的作用等。虽然$\delta$函数在常规的函数定义下并不满足连续可微等性质，但可以通过分布理论或广义函数的概念来理解和处理。
在数学中，$\delta$函数常用于积分、微分方程和卷积等问题中。例如，对于在$x=0$处有集中质量的线性弹簧系统，其位移可以表示为$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x)dx$，其中$f(x)$是作用力。
需要注意的是，$\delta$函数的具体形式和定义可能因应用领域和具体问题而有所不同。在实际使用中，需要根据具体情况选择合适的定义和处理方法。
总的来说，$\delta$函数是一种抽象的数学工具，用于描述和处理集中在一点或一瞬的物理现象或数学问题。它在许多领域都有广泛的应用。
以及
方程10:δ(x≠x')=0
δ函数最重要的特性是与函数一起积分时的“筛选性质”
方程 11:
∫f(x')δ(x-x')dx'=f(x)
这是直观的，因为我们可以将δ函数表示为高斯或正弦函数的极限。
当$\delta$趋近于$0$时，高斯函数和正弦函数的极限情况如下：
对于高斯函数，它通常表示为$e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$，其中$\sigma$是标准差。当$\delta$趋近于$0$时，高斯函数在$x=0$处的取值趋近于$1$，并且在其他点的取值趋近于$0$。这是因为当$\delta$很小时，高斯函数的峰值变得非常尖锐，而在远离峰值的地方函数值迅速下降。
对于正弦函数，它通常表示为$\sin(x)$。当$\delta$趋近于$0$时，正弦函数在$x=0$处的取值为$0$，并且在其他点的取值呈现周期性的变化。具体的变化模式取决于$x$的取值，但一般来说，正弦函数在相邻的峰值和谷值之间的变化是平滑的。
需要注意的是，这里的描述是在一般情况下的简化说明。在具体问题中，可能需要更详细的分析和具体的参数值来确定函数的极限行为。此外，极限的结果还可能受到其他因素的影响，如函数的定义域、边界条件等。
总的来说，当$\delta$趋近于$0$时，高斯函数呈现出尖锐的峰值，而正弦函数呈现出周期性的变化。这些特征在不同的应用中可能具有重要的意义，例如在概率论、信号处理或物理学等领域。
上面介绍了高斯序列表示的函数
和正弦序列 (sin x / x) 表示δ函数
在这里，我们将采取不同的视角，专注于筛选性质。为此，我需要介绍卷积（convolutions）。
卷积是两个函数之间的积分，我们称它们为 f(x) 和 g(x)，但我们通过某个量将其中一个函数偏移，我们将其称为 x。
方程 12:
f×g=∫f(x')g(x-x')dx'
它们是将两个函数“混合”在一起的方式，在信号处理中发挥着基础作用，并因此扩展到机器学习，你可能听说过卷积神经网络。对于这个讨论，让我们将卷积视为一种函数的乘法方式。
我将声称，卷积就像数字的正常乘法。我们可以通过查看一些性质来强调这一点。
? 由于卷积是一种积分，它是线性的，或者遵循分配律：
f×(αg1+βg2)=αf*g1+βf*g2
? 此外，它是交换的：
f*g=∫f(x')g(x-x'dx'=∫f(x-x')g(x')dx'=g*f
? 和结合的：
f*(g1*g2)=(f*g1)*g2
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就像正常的乘法一样。
此外，两个函数的卷积也是一个函数，就像数字乘法一样，两个数字相乘的结果也是一个数字。
要证明这些，只需明确写下积分。前两个从微积分的规则中立即得出。最后一个需要函数在某种程度上行为良好，允许我们改变积分顺序，但对于物理相关的函数，这通常是这样的。
然而，这不是一个完美的等价。一个（大）问题是定义逆，即卷积类比的 a^(?1)，使得 a × a^(?1) = 1。换句话说，我们如何“去卷积”两个函数？这个问题通常是不适定的。更多关于这个的讨论在下面。
但另一个问题是身份。我们需要一些起到乘以1的作用的东西。我们知道 f(x) × 1 = f(x)，对任何 f 都成立，但哪个函数 I(x) 满足：f(x) * I(x) = f(x)？
δ函数的筛选性质（方程 11），你应该认识到它是以卷积的形式写的。δ函数在将两个函数进行卷积时充当恒等算子。换句话说，δ函数有点像 1。
这种联系并非凭空而来。我们可以在傅里叶变换的背景中看到这种暗示。δ函数可以通过傅里叶变换表示。我们可以看到傅里叶表示的形式是取 1 的逆傅里叶变换：
方程 13:
δ(x-x')=2π^-1∫-∞/∞e^iω(x-x')dω=2π^-1∫-∞/∞1*e^iω(x-x')dω
卷积和内积
在回到格林函数之前，我上面提到，我们的类比到正常乘法的限制是缺乏明确定义的逆。我们可以通过卷积最常见的应用“移动平均”或低通滤波器来了解这一点。
例如，让我们拿一张图片并与高斯函数进行卷积。
使用高斯卷积对金毛犬进行低通滤波
对图像进行二维卷积通常会使其明显模糊。消除一些模糊并非不可能(反卷积是图像处理中的一个老话题)，在实践中，卷积的滤波效果将高分辨率信息映射为零。在线性代数的语言中，存在非平凡的零空间，所以这个运算是不可逆的。
虽然它不是数字正常乘积的完美类比，但卷积确实符合向量内积的所有条件。在不将这变成一整套线性代数课程的情况下，内积是我们三维空间中常规向量点积的概括。
方程 14:
是的，内积（Inner Product）是三维空间中常规向量点积（Dot Product）的一种概括。在数学中，内积是一个定义在向量空间上的函数，它赋予两个向量一个标量值，并且满足一定的性质。在三维欧几里得空间中，内积通常指的是点积，但在更一般的向量空间中，内积的概念被扩展以适应不同的几何和代数结构。
三维空间中的点积定义如下：给定两个向量 a = [a1, a2, a3] 和 b = [b1, b2, b3]，它们的点积（记作 a · b）定义为：
a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3
点积有以下性质：
交换律：a · b = b · a
分配律：a · (b + c) = a · b + a · c
结合律：(ka) · b = a · (kb) = k(a · b)，其中 k 是标量
正定性：a · a ≥ 0，且 a · a = 0 当且仅当 a = 0
在更一般的向量空间中，内积的定义需要满足以下公理：
对称性：?a, b? = ?b, a?
线性性：?ka, b? = k?a, b? 和 ?a + b, c? = ?a, c? + ?b, c?
正定性：?a, a? ≥ 0，且 ?a, a? = 0 当且仅当 a = 0
在不同的向量空间中，内积的具体表达式可能会有所不同，但它总是保留了这些基本的代数和几何性质。例如，在复数向量空间中，内积可能包含共轭操作；在无穷维函数空间中，内积可能是两个函数的积分乘积。
总之，内积是点积的概括，它不仅适用于三维欧几里得空间，还适用于更广泛的数学和物理问题中。内积的概念在泛函分析、量子力学、信号处理等领域都有重要应用。
在向量空间中，向量的模（或长度、范数）是指向量的大小或绝对值。对于具有内积的向量空间，模可以通过内积来定义。在三维欧几里得空间中，向量的模通常是指向量的长度，可以通过点积来计算。
对于一个三维向量 v = [v1, v2, v3]，其模（记作 ||v||）可以通过以下公式计算：
||v|| = √(v12 + v22 + v32)
这个公式实际上是利用了点积的性质，特别是向量与其自身的点积等于其模的平方：
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v · v = v12 + v22 + v32 = ||v||2
因此，我们可以通过取平方根来得到模。
在更一般的内积空间中，向量的模可以通过内积来定义。给定向量 v，其模定义为：
||v|| = √?v, v?
这里，?v, v? 表示向量 v 与其自身的内积。这个定义保证了模是非负的实数，并且当且仅当向量为零向量时，模等于零。
模的概念在数学和物理学中非常重要，因为它与向量的几何属性密切相关，比如距离、大小和方向。在物理学中，向量的模经常用来表示物理量的大小，例如力的大小、速度的大小等。在数学中，模的概念也被推广到了更一般的抽象空间，如赋范空间和巴拿赫空间，成为分析和几何中的基本概念之一。
? 在普通的（3D）空间中，向量只是箭头。它们指向一个方向并具有长度，我们称之为大小。分量是指向上或向下、向左或向右等方向的分量。